anhang der durchschnitt r‡ r‡ ist das intervall der durchschnitt ist das intervall der durchschnitt r‡ ist das intervall der durchschnitt r‡ r‡ ist das intervall lineare gleichungen modellieren einfacher aufgaben durch lineare gleichungen löse die gleichung löse die gleichung 19,2 löse die gleichung 17·3 beschreibt die aufgabe nicht richtig richtig wäre löse die gleichung 17)·3 löse die gleichung beschreibt die aufgabe nicht richtig richtig wäre löse die gleichung 42” ist keine lösung der gleichung 3·(‒ und ist eine lösung der gleichung 3·19 und äquivalenzumformungen die umformung ist nicht richtig im schritt ausmultiplizieren wurde falsch ausmultipliziert richtig wäre die umformung ist richtig die umformung ist nicht richtig im schritt ist durch zu dividieren statt zu addieren richtig wäre also die umformung ist nicht richtig die lösung der gleichung ist da 2·(‒ ist daher wurde in der zeile durch dividiert was nicht erlaubt ist im kopf lässt sich das so berechnen 2·10 ist das gleiche wie 20·10 20·10 3·10 ergibt 17·10 17·10 ergibt 17·10 und das ist ausmultiplizieren zusammenfassen seiten der gleichung vertauschen ·3 ·4 linke seite ausmultiplizieren linke seite zusammenfassen und begründung umformen führt auf die unbekannte bleibt mit hochzahl stehen die gleichung kann nicht in eine lineare gleichung umgeformt werden umformen führt auf die gleichung kann in eine lineare gleichung umgeformt werden umformen führt auf die unbekannte bleibt mit hochzahl stehen die gleichung kann nicht in eine lineare gleichung umgeformt werden umformen führt auf die gleichung kann in eine lineare gleichung umgeformt werden textaufgaben löse die gleichung 14·8,80 a·6,20)·1,15 8,05 bezeichnet die gesuchte anzahl der kilogramm der sorte ceylon ii ist ein geeignetes mathematisches modell für diese aufgabe begründung bezeichnen wir mit die zeit in stunden die der pkw bis zum treffpunkt unterwegs ist so legt dieser den weg in km zurück nachdem das motorrad stunden später wegfährt legt dieses bis zum treffpunkt den weg in km zurück beide wege zusammen müssen gleich der gesamten entfernung von wien nach prag also km sein der kleinste der lastwagen muss 18-mal fahren damit der gesamte metallschrott abtransportiert ist begründung wir bezeichnen die anzahl der fahrten des kleinsten lastwagens mit schrott volumen pro fahrt anzahl der fahrten abtransportiertes schrott volumen lastwagen lastwagen lastwagen in summe muss das gesamte schrottvolumen abtransportiert werden die aufgabe lässt sich also durch löse die gleichung beschreiben division durch liefert zunächst kürzen und ausrechnen ·25 17,5 da der lastwagen keine halbe fahrt machen kann muss er 18-mal fahren es wurden sitzplatzkarten verkauft begründung wir bezeichnen die anzahl der verkauften sitzplatzkarten mit dafür wurden eingenommen laut angabe wurden stehplatzkarten mehr als sitzplatzkarten verkauft also dafür wurden eingenommen wir können daher die aufgabe beschreiben als löse die gleichung ausmultiplizieren und zusammenfassen auf der linken seite der gleichung liefert 502,95 479·1,05 502,95 399,17 399,17

lösungen zu was habe ich in diesem abschnitt gelernt in geschäft 598·0,965 577,07 584·0,98 572,32 um 0,82 572,32 577,07 0,9918 frau maier zahlt 99,18 also um 0,82 weniger umformen von formeln ·2 seiten vertauschen darf nicht sein ·r ·( ·( )( ausmultiplizieren herausheben 2r die zahlen und dürfen nicht sein herausheben die zahlen und dürfen nicht sein die angegebene umformung ist nicht korrekt weil im umformungsschritt die summe nicht korrekt berechnet wurde sie ist nicht 0,25 kn kpa pa 0,25 die kraft verdoppelt sich wenn ist dann ist p·a ist nun doppelt so groß dann ist p·a also verdoppelt sich die kraft der druck halbiert sich ist die fläche doppelt so groß dann ist ·p also halbiert sich der druck bei gleicher kraft ist der druck umso größer je kleiner die fläche ist funktionen was sind funktionen begründung kann als funktion aufgefasst werden da jede person nur eine einzige körpergröße haben kann kann nicht als funktion aufgefasst werden da manche autobesitzer mehr als ein auto besitzen ist diese zuordnung nicht eindeutig kann nicht als funktion aufgefasst werden da eine mutter mehrere kinder haben kann ist diese zuordnung nicht eindeutig ob die zuordnung als funktion aufgefasst werden kann hängt davon ab ob der supermarkt jedem produkt genau einen preis zuordnet es gibt supermärkte in denen gewisse produkte für eine bestimmte konsumentengruppe kundenkarte einen anderen preis haben kann als funktion aufgefasst werden da das doppelte einer zahl eindeutig ist kann als funktion aufgefasst werden da jede person die karte für einen bestimmten platz erhält definitionsbereich elisabeth fabia susanne sigrid wertebereich rot grün blau graph elisabeth rot fabia rot susanne blau sigrid grün schülerin lieblingsfarbe elisabeth rot fabia rot susanne blau sigrid grün reaktionsweg bremsweg und anhalteweg reaktionsweg 10)·3 bremsweg 10)·(50 anhalteweg mit ·3 bzw 0,01 das heißt bei einer geschwindigkeit von km/h beträgt der anhalteweg liter zweimal in den zeiträumen von min bis min und von min bis min ist der füllstand angestiegen minuten in dieser zeitspanne hat es nicht geregnet da sich der inhalt der tonne nicht geändert hat der graph steigt hier steiler an liter lineare funktionen die funktion ordnet jeder zahl die zahl ·x zu änderungsrate die lineare funktion mit k·x hat an der stelle den funktionswert also ist wegen k·2 muss sein daher ist 1·(‒ begründung für jede zusätzlich verbrauchte kilowattstunde zahlt man denselben preis die änderungsrate einer linearen funktion ist für alle zahlen die fläche eines quadrates mit der seitenlänge bzw bzw ist bzw bzw verlängert man die seitenlänge von

anhang auf wächst die fläche um verlängert man die seitenlänge von auf dann wächst die fläche aber um daher ist die änderungsrate für und für nicht gleich also kann der zusammenhang nicht durch eine lineare funktion beschrieben werden der zusammenhang wird durch die konstante funktion die jeder gesprächsdauer dieselben gesamtkosten zuordnet beschrieben konstante funktionen sind linear für die ersten gesprächsminuten ist die änderungsrate ab der minute aber ist die änderungsrate gleich 0,05 jede stunde wird derselbe anteil abgebaut die änderungsrate ist konstant 3,21 gb mit bezeichnen wir die anzahl der gigabyte also muss felix ins gesamt 4,70·g 4,90 bezahlen wenn er ausgeben will muss 4,70·g 4,90 sein daraus folgt 3,21 gebühr für schläger und bälle 2,50 kosten für min 7,50 andi zahlt für min benützung des platzes also für min insgesamt zahlt er 5,50 die differenz von 2,50 ist also die gebühr für die schläger und die bälle für min bezahlt andi 5·1 2,50 7,50 und begründung wenn man doppelt so viel dreimal soviel c-mal so viel zahlt wenn der der kurs doppelt so lange dreimal so lange c-mal so lange dauert dann sind die kurskosten und seine dauer zueinander direkt proportional wenn man doppelt so viele pumpen einsetzt dann halbiert sich die zeit für das auspumpen verdoppelt sich also nicht daher sind die zeit für das auspumpen und die anzahl der verwendeten pumpen nicht direkt proportional zueinander wenn man doppelt so viele räumfahrzeuge einsetzt dann halbiert sich die zeit für das reinigen verdoppelt sich also nicht daher sind die zeit für das reinigen und die anzahl der eingesetzten räumfahrzeuge nicht direkt proportional zueinander wenn c-mal so viele t-shirts produziert werden wenn der arbeitstag c-mal so lange dauert dann sind die dauer des arbeitstages und anzahl der produzierten shirts zueinander proportional wenn der arbeitstag zu lange dauert werden aber die arbeiterinnen und arbeiter müde und produzieren weniger t-shirts also sind dauer und anzahl der shirts nur für kleine verlängerungen der dauer zueinander direkt proportional für 55·(a für 55·(100 gäste also muss 55·(a sein 115,45 lineare funktionen in der wirtschaft proportionale kosten €/stück monatliche fixkosten das bedeutet dass eine monatliche produktion von stück kostet fixkosten variable kosten 42·5 gesamtkosten 42·5 stückkosten 43,46 €/stück 300/5 43,46 mit menüs 4,80 170,5 menüs die lösung der gleichung ist 915,56 der gewinn würde von auf sinken aktuell erlös 4,8·560 kosten 2,9·560 also beträgt der gewinn bei preissenkung erlös 4·700 kosten 2,9·700 also beträgt der gewinn der buchwert restwert der maschine nach jahren beträgt 725·5 umkehrfunktionen ist nicht umkehrbar da auf einigen geraden parallel zur ersten achse zwei punkte des graphen liegen ist umkehrbar weil auf jeder geraden parallel zur ersten achse nur ein einziger punkt des graphen liegt ist umkehrbar wenn der wertebereich der funktion die menge aller positiven reellen zahlen ist weil auf jeder geraden durch einen punkt mit parallel zur ersten koordinatenachse genau ein punkt des graphen liegt ist nicht umkehrbar da auf einigen geraden parallel zur ersten achse zwei punkte des graphen liegen steigung achsenabschnitt sind fixkosten pro gefahrenen kilometer sind zusätzlich zu zahlen definitionsbereich steigung achsenabschnitt für den definitionsbereich ist zu bedenken dass ursprünglich mindestens für die fahrt zu bezahlen waren daher ist der definitionsbereich der umkehrfunktion die menge aller reellen zahlen mit das bedeutet dass man mit dem leihwagen um insgesamt km fahren kann

lösungen zu was habe ich in diesem jahr gelernt lösungen zu was habe ich in diesem jahr gelernt zahlen und maße begründung ist richtig weil ist ist nicht richtig da 2·1 0,002 ist ist richtig da jede rationale zahl auch eine reelle zahl ist ist richtig weil 0,34 ist 12,016875 zum beispiel zähler nenner oder zähler nenner 0,23 12,016875 n‡ ist richtig da alle natürlichen zahlen auch ganze zahlen sind ist falsch da es rationale zahlen gibt die keine ganzen zahlen sind zum beispiel ist richtig da jede rationale zahl auch eine reelle zahl ist ist falsch da keine natürliche zahl ist die vereinigung besteht aus allen elementen die sowohl in der menge also auch in der menge enthalten sind der durchschnitt besteht aus allen elementen der menge und allen elementen der menge 2,3·10 1,25·10 5·10 0,0925 ca 1,5·10 -mal bzw ca millionen-mal 1,4·10 9,3·10 1,4·1 1,5·1 1,5·1 cm dm 10·3,5 das volumen beträgt dm km/h km min dm 12·10 km 1,2·10 km 42,5 42,5·10 cm 4,25·10 cm dm 15·10 mm 1,5·10 mm dm cm dm cm dm 20·18·50 dm ·18 kg ca 2·10 millionen sandkörner kg 400·10 mg·400· 200·10 größenordnung begründung 0,012 0,345 ·67,8 1,2·10 3,45·10 ·6,78·10 1,2·10 ·7·10 3,5·10 1,2·2·10 1,4·10 583,25 bruttopreis nettopreis·1,20 nettopreis bruttopreis 1,20 699,90 1,20 583,25 24,50 699,90·0,035 24,4 24,5 ca 0,03 ·5 171,84 ca 35,1 ·362 35,082 um ca 12,75 3,45 3,45 3,89 12,75 brot ca millionen kg ca kg kg 8·10 also beträgt der jährliche verbrauch ca 3·8·10 ·12 288·10 kg 288·10 milch ca millionen liter 8401 8·10 also beträgt der jährliche verbrauch ca 5·8·106·12 480·10 algebra und geometrie ·10 ·10 ·10 ·y ·x ·x ·y ·y ·y ·y ·x x·x·x)·(x·x·x·x·x x·x·x·x·x·x·x·x falls ist ist a·b und ·b 1·1 falls ist a·b a·b·a·b·…·a·b a·a· ·a·b·b·b·… 14444444442344444444225 144444234444225 144442442344444225 n-mal n-mal n-mal falls ist ist und a·b weil ist haben wir bereits gezeigt dass ist wegen folgt daraus a·b ·b 3·(4 2·(7 3·(5 3·(4 2·(7 3·(‒ 2·(‒ ·(a ab )·(a ab y)/4 y/(4 y)/(4 y/(4 mit bezeichnen wir den preis in euro des billigeren kleidungs stücks dann ist 1,25·x 191,25

anhang mit bezeichnen wir den betrag in euro den ein nebengewin ner erhält dann ist 0,75·250 8·x mit bezeichnen wir die zeit in stunden die der radfahrer braucht um den ersten einzuholen dann ist ·3·5 zum beispiel diese geleichung hat nur eine lösung durch äquivalenzumformungen erhalten wir zum beispiel diese gleichung hat keine lösung durch äquivalenzumformungen erhalten wir das ist für keine zahl richtig zum beispiel diese gleichung hat alle zahlen als lösung durch äquivalenzumformung erhalten wir das ist für alle zahlen richtig für denn dann ist anzahl der münzen des jüngsten 83,33 nach diesen vorgaben kann die teilung nicht erfolgen der großvater kann zwei münzen behalten dann lässt sich diese teilung durchführen weil der älteste bekommt dann der zweitälteste und der jüngste münzen begründung ist äquivalent zu und zu das ist für alle zahlen falsch daher ist die lösungsmenge die leere menge begründung 3·(6 ist äquiva lent zu und zu das ist für alle zahlen rich tig daher ist eine lösungsmenge die menge der reellen zahlen die umformung ist nicht richtig da der kehrwert falsch gebildet wurde richtig wäre ah weil ist wird die länge von kleiner wenn bei gleichbleibendem verdoppelt wird funktionale zusammenhänge begründung kann der graph einer funktion sein da im betrachteten ausschnitt jeder zahl genau eine zahl zugeordnet wird kann nicht der graph einer funktion sein da zum beispiel der zahl die zahl und zugeordnet wird kann der graph einer funktion sein da im betrachteten ausschnitt jeder zahl genau eine zahl zugeordnet wird kann nicht der graph einer funktion sein da zum beispiel der zahl die zahl und zugeordnet wird begründung kann als funktion aufgefasst werden da jeder fahrt genau ein fahrpreis zugeordnet wird kann als funktion aufgefasst werden da jede schulklasse genau eine anzahl an schülerinnen und schülern hat kann nicht als funktion aufgefasst werden da eine person mehrere telefonnummern haben kann kann nicht als funktion aufgefasst werden da eine person mehrere sprachen sprechen kann 1,2·x mit nettopreis und bruttopreis mit produzierte einheit und gesamtkosten in die funktion ordnet jeder zahl aus ihr dreifaches vermindert um zu mit 3,15 mit 7,80 mit 7,80 3,15 4,65 stück 3,15 7,80 4,65 870,97 der restewert der anlage nach jahren beträgt 5·3 der halbe anschaffungspreis ist also beträgt der gewinn mit 10)·35 für für ordinatenabschnitt fixkosten versandkosten bearbeitungs kosten änderungsrate 0,23 zusätzliche kosten pro produziertem flyer mit ordnet jeder zahl die zahl mit zu es ist also ·x daher 0,4·1 für einen preis von kann man mit dieser limousine insgesamt km fahren